这一情形恰恰呼唤着我们的虚数(imaginary number)登场。在最后一章中我们会重拾这一话题。现在,让我们只做一些介绍性的点评。
在16世纪,意大利数学家们通过推广二次方程的解法,学会了如何解三次和四次多项式方程,此时这个问题第一次全面浮现出来。后来所说的卡尔达诺法[3](Cardano method)中,虽然到最后方程的解是正整数,但计算过程常常涉及负数的平方根。从那时起人们逐步发现,使用复数可以让许多数学计算得以开展。复数是形如a+bi的数,这里a和b都是普通的实数。例如,在18世纪,欧拉发现并应用了eiπ=-1这个小小的出人意料的等式。每一个第一次见到它的人都会禁不住惊讶。
在19世纪早期,韦塞尔[4](Wessel)和阿尔冈[5](Argand)研究了复数的几何解释——即坐标平面(标准的xy坐标)上的点,在这之后“虚的”这一术语被普遍接受为数学用语。将复数x+iy和具有坐标(x,y)的点对应起来,这使得我们能够通过平面上的点的行为来研究复数的行为。事实证明这是极富启发性的。关于所谓的复变量(complex variable)的理论,研究的是依赖于复数——而不仅仅是实数——的函数。经由奥古斯丁·柯西(Augustin Cauchy)的发展,这一理论枝繁叶茂。它现在已经成为数学的一块基石,并且为电信号理论提供了数学基础,而整个X射线衍射领域完全建立在复数的基础上。人们已经证明这些数拥有实实在在的意义。除此之外,这个系统还是完备的,因为每一个多项式在复数系统中都有一组完整的解。我们会在最终章中回到这些话题。不过,在那之前,让我们在下一章中先更近距离地观察一下实数轴的无穷特性。